La división: una operación para repartir

La operación que revisaremos hoy es la división. Se relaciona con repartir en partes iguales, o con formar subconjuntos que tienen la misma cantidad de elementos, es decir, el mismo cardinal.

Por ejemplo, vamos a repartir 20 estrellas en 5 subconjuntos:

Nos quedan 4 estrellas en cada subconjunto, entonces podemos decir que

20 : 5 = 4, porque 4 · 5 = 20.

Como puedes ver, la división es la operación inversa a la multiplicación.

Elementos

La división tiene como elementos al:

• Dividendo: es el número que se divide. Corresponde al total que se va a repartir.
• Divisor: es el número que divide, es decir, los subconjuntos que vamos a formar, o entre cuántos se va a repartir.
• Cuociente: es el resultado de la división. Indica la cantidad de elementos que tiene cada subconjunto o lo que le toca a cada uno.

Distintas formas de resolver

Hay un procedimiento matemático que permite hacerlo en forma rápida.

Lo verás en el siguiente ejemplo:

Dividiremos 27 : 3 = ?

Primero, vemos en la tabla del 3 si hay un producto que sea 27. Si no lo hay, buscamos el más cercano a él. Nos sirve el factor o divisor 9, que será

nuestro cuociente. 9 · 3 = 27. Colocamos este producto debajo del dividendo y restamos. La diferencia es 0. Para finalizar la división colocamos //.

Otra forma de solución es encontrar la diferencia mentalmente.

Buscamos igual que en el caso anterior y obtenemos 9 como cuociente.

9 · 3 = 27. Para llegar a 27 del dividendo la diferencia es 0.

Ahora dividiremos 84 : 6 . Revisamos la tabla del 6 y nos encontramos con que el cuociente es mayor que 9, o sea tiene más de un dígito. Entonces, separaremos las decenas del dividendo y diremos 6 en 8 decenas, cabe 1 decena. 1 va al cuociente y decimos: 1 · 6 = 6 D., que colocamos debajo de las 8 D. Restamos y nos quedan 2 D. Bajamos las 4 unidades al lado de las 2 D. y ahora tenemos 24 unidades. El divisor 6 en 24 U. cabe 4. Multiplicamos 4 · 6 = 24 , y colocamos ese producto debajo de las 24 U. Restamos y nos queda 0.

Con la resta mental nuestra división sería: 6 en 8 decenas cabe 1 decena,
1 D · 6 = 6 D. Para llegar a 8 D. faltan 2 D. que colocamos debajo de las
8 D. Bajamos las 4 unidades al lado del 2. Ahora tenemos 24 U. 6 en 24 U. cabe
4 U. y 4 · 6 = 24 U. Para llegar a 24 U. faltan 0 U.

 

Exactas o inexactas

Una división es exacta cuando el cuociente cabe exactamente y no sobra nada. Es decir, el cuociente es otro divisor del dividendo. Todas las divisiones anteriores son exactas. Las divisiones inexactas tienen un resto mayor que 0. Es decir, sobran elementos del dividendo. Veamos:

Distintos casos

A continuación, profundizaremos el concepto de división con dividendos mayores que 100.

Por ejemplo: 1.437: 5

En esta división no podemos separar las U.M., porque 5 no cabe en 1 U.M. Entonces, separamos en las C. y decimos 5 en 14 C. cabe 2 C. y sobran 4 C. Bajamos las 3 D.; ahora tenemos 43 D.y 5 en 43 D. cabe 8 D. y nos sobran 3 D. Bajamos las 7 U. y tenemos 37 U. 5 en 37 U. cabe 7 veces y nos sobran 2 U. Es una división inexacta; nos quedó 2 de residuo.

Divisiones con 0 en el cuociente

Algunas veces al dividir una cifra nos queda exacta, sin residuo y al bajar la siguiente, obtenemos un número menor que el divisor. Entonces, debemos colocar 0 en el cuociente y bajar la cifra que sigue.

Por ejemplo:

Separamos las U.M. 5 en 5 U.M. cabe 1 U.M.
5 · 1= 5, resto 0. Bajamos las 2 C. 5 no cabe en 2 C.; colocamos 0 en el cuociente y bajamos las 3 D. 5 en 23 D. cabe 4 D. y sobran 3 D. Bajamos las 2 U. 5 en 32 U. cabe 6 y sobran 2.

Con calculadora

Este instrumento tan útil para simplificar los cálculos, nos trae algunas complicaciones con la división.

Esto sucede porque el visor no nos muestra el resto o residuo. Si la división es exacta, no hay problema. Pero, cuando es inexacta, el cuociente aparece con un punto o una coma entre las cifras.

Por ejemplo: si digitamos 389 : 7 , en el visor obtenemos como cuociente 55.57142...

Este cuociente es un número decimal que tú estudiarás en cursos superiores. Por ahora, toma como resultado las cifras que están antes del punto o coma, es decir, 55 en este caso.

Aproximemos

Al igual que en las operaciones anteriores, en las divisiones también se pueden hacer estimaciones de sus resultados, si realizamos aproximaciones de sus dividendos.

Veámoslo con un ejemplo. Si queremos dividir 496 : 8, podríamos aproximar los 496 a 480, porque sabemos que 8 en 48 cabe 6, y en 480, 60 (agregamos el 0). También, podríamos aproximarlo a 560, porque cabría 70 veces. O sea, 8 · 7 = 56 y 8 · 70 = 560

Entonces, nuestro cuociente exacto estará entre 60 y 70

Un niño notable

Carlos Federico Gauss fue un matemático alemán al que se le llamó "el príncipe de los matemáticos".

Un día, cuando tenía 10 años, su profesor le dio un ejercicio en clases para tener ocupado a sus alumnos durante largo tiempo: calcular la suma de la serie de los números naturales del 1 al 100.

Gauss terminó su trabajo a los pocos minutos. El profesor no se podía convencer.

¿Qué había hecho este pequeño genio?

Muy simple: sumó los números extremos de la serie. Así:

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101...

Y el resultado era siempre 101.

Si el resultado se repetía 50 veces pensó: la suma corresponde a 101 x 50. Y eso da un total de 5.050.

El profesor quedó maravillado con su precoz alumno.